Sind Naturwissenschaften korrekt?

Eine grundsätzliche Frage der Naturwissenschaft und ihrer Kritiker ist: Können wir der Naturwissenschaft vertrauen? Dabei geht es nicht um die Wissenschaftler, die potenziell Fehler machen, oder irgendeine Art der Beeinflussung erfahren, sondern um die naturwissenschaftliche Methodik. Also um Methoden, auf denen basierend Aussagen getroffen werden, über die Natur, das Leben oder die technische Entwicklung. Dazu gehören Statistik, Logik, Beweise, das Konzept "Aussage" selbst, vielleicht.

Im folgenden - durchaus viralen - Video legt der pensionierte Oxford Professor Richard Dawkins seine Meinung dar, zu einer dem Obigen entsprechenden Publikumsfrage.

Dawkins argumentiert damit, dass es einige Beispiele gibt, in denen Naturwissenschaft funktioniert hat, und nimmt dies als Beleg dafür, dass Naturwissenschaft selbst ein sinnvolles Prinzip ist, das funktioniert. Nach den Regeln der Logik, reicht das natürlich nur für einen Existenzbeweis ("Es gibt mindestens einen Fall, in dem Naturwissenschaft funktioniert"), nicht aber für eine generelle Aussage ("Naturwissenschaft ist ein Prinzip, das grundsätzlich funktioniert."). Die Regeln der Logik andererseits sind hier jedoch überhaupt nicht anwendbar, denn ihre Anwendbarkeit setzt voraus, dass sie richtig sind. Ihre "Richtigkeit" lässt sich aber nicht wirklich überprüfen

Und das ist wohl hier auch das Hauptproblem. Ein Wissenschaftler, der sich mit der Frage befasst, ob "wir Wissenschaft vertrauen können", darf keinerlei wissenschaftliche Methoden verwenden, um dies zu tun. Das wäre zirkulär. Das Einzige, auf das man sich stützen kann, ist ein "allgemeiner Konsens", also ohne irgendwelche Regeln zu kennen zu überlegen, ob man im alltäglichen Leben mit einer solchen Methode "einverstanden" wäre, bzw. ob man ihre Funktionsweise beobachten kann, ob sie plausibel ist. 

Im Video handelt Richard Dawkins damit eigentlich sehr clever. Er bezieht sich nämlich auf einen gewissen allgemeinen Konsens, nämlich den, dass jeder beobachten kann, dass diverse Wunderwerke der Technik, die auf naturwissenschaftlichen Grundsätzen basieren, tatsächlich funktionieren. Ein Kritiker könnte jetzt einwenden, die Funktionsweise eines Flugzeuges könne kaum herangezogen werden, um medizinische Forschung zu ratifizieren. Außerdem gibt es ja auch Fälle von Flugzeugabstürzen, bei denen nicht einwandfrei klar ist, warum das Flugzeug abgestürzt ist. Da könnte man sagen: Aus naturwissenschaftlicher Sicht war das Flugzeug optimal geeignet um diesen Flug erfolgreich zu absolvieren und es konnten keine menschlichen Fehler in irgendeiner Art und Weise beobachtet werden. Dies wäre dann ein Gegenbeispiel dafür, dass Naturwissenschaft "funktioniert". Zugegebenermaßen war Dawkins wohl auch etwas unvorbereitet auf diese Frage, die aus dem Publikum stammte. 

Eine, aus meiner Sicht, bessere Methode, die Anwendbarkeit der Naturwissenschaften dem allgemeinen Konsens zuzuführen, wäre das Fundament all dessen zu betrachten. Da ich extra nur von Naturwissenschaften spreche, kann ich wohl einfach behaupten, dass dieses Fundament die Mathematik ist. In anderen Disziplinen wäre dies wahrscheinlich noch immer richtig, denn in der Wissenschaft geht es immer um das logische Argumentieren von Sachverhalten. Die Mathematik beinhaltet die Logik als Teilbereich und setzt sie nicht als benötigt/gegeben voraus.

Auch wenn "nur" die Mathematik deutlich weniger umfangreich wäre, als jegliche naturwissenschaftliche Methode auf allgemeine Konsensfähigkeit zu überprüfen, so ist sie dennoch zu umfangreich für diesen Artikel. 

Abhilfe verschafft der axiomatische Aufbau der Mathematik: Axiomatischer Aufbau heißt, es gibt fundamentale Behauptungen, die als wahr angenommen werden, und auf welchen alles Weitere aufbaut. Relativ bekannt ist wohl Kolmogorovs Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitstheorie. Diese beinhaltet zum Beispiel die Additivität von Ereignissen: Können zwei Ereignisse nicht gleichzeitig eintreten, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass (genau) eines von beiden eintritt, gerade so groß wie die Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse. Das ist eine Behauptung, die sich nicht beweisen lässt, die aber aus einer grundsätzlichen Betrachtung von Wahrscheinlichkeiten heraus, als allgemein konsensfähig gilt.

Nun möchte ich jedoch nicht die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie diskutieren, sondern die, der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF). Die ZF beinhaltet neun Axiome. Diese neun Axiome reichen aus, um viele Bereiche der Mathematik zu entwickeln und deren korrekten Behauptungen zu beweisen. Die Wahrscheinlichkeitstheorie, zum Beispiel, kann damit nicht abgedeckt werden, wie oben diskutiert. Ich bin selbst kein Fachmann für axiomatische Mengenlehre, was der Les- und Verstehbarkeit des folgenden Textes wohl durchaus zuträglich sein wird. Der Plan lautet also: Jedes dieser neun Axiome werde ich vorstellen und Argumente für die Konsensfähigkeit dieses Axioms nennen - meistens durch Beispiele. Stellt der Leser nach Lesen jedes der folgenden Abschnitte fest, dass er mit dieser Argumentation einverstanden ist, oder er andere Argumente für dieselben Axiome findet, so ist er automatisch auch der Meinung, dass er mit den Naturwissenschaften im Konsens steht. Hält der Leser einige dieser Argumente für nicht sinnvoll oder auch Axiome für nicht sinnvoll, dann könnte berechtigt Zweifel an der Naturwissenschaft äußern. Es reicht jedoch nicht aus, sie zu widerlegen.

1. Extensionalitätsaxiom: Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente beinhalten. Mengen können alles Mögliche darstellen. Jeder Gegenstand könnte eine Menge sein, zum Beispiel die Menge der einzeln-identifizierbaren Elementarteilchen, aus denen der Gegenstand zusammengesetzt. Da jedes Elementarteilchen einzeln identifizierbar ist, kann man einfach alle Elementarteilchen überprüfen und anhand dessen herausfinden, ob zwei Gegenstände identisch sind. Das ist natürlich kein sehr alltagsnahes Argument und wenn man mit einem Experimentalphysiker, so wird dieser sicher auch bestätigen, dass die "einzelne Identifizierbarkeit" von Elementarteilchen nicht trivial ist. Ein alltagsnäheres Argument ist vielleicht der Vergleich zweier fabrikneuer komplett identisch-bestellter Autos. Natürlich sollen diese nach obigem Axiom unterschieden werden, denn sie sind nicht gleich. Obwohl diese Autos identisch bestellt wurden, haben sie eine eindeutige (nicht-identische) Rahmennummer, anhand derer das Auto auch ohne Nummernschild identifizierbar ist. Das heißt, sie sind sich nur sehr ähnlich, aber nicht identisch. Betrachtet man zweimal dasselbe Auto, so stimmt auch diese Rahmennummer überein und hat - wie angenommen - zwei identische Mengen.

2. Leermengenaxiom: Es gibt eine leere Menge, diese wird bezeichnet mit Ø. Aus physikalischer Sicht könnte man wieder argumentieren: Es gibt eine endliche Anzahl an Elementarteilchen im Universum. Daher kann man sich einfach eine (kontinuierliche) Kugel vorstellen, deren Mittelpunkt kein Elementarteilchen ist, und deren Radius man so lange verkleinert, bis kein Elementarteilchen mehr in ihr vorhanden ist. Ansonsten ist es eher schwierig, sich vorzustellen, dass irgendwo überhaupt nichts drin ist. Der Experimentalphysiker würde behaupten, es gibt kein absolutes Vakuum, also es ist nicht möglich, sämtliche Luft-Partikel aus einer Kapsel zu saugen. In der Realität kann man sich die leere Menge vielleicht besser in Zusammenhängen vorstellen. Man könnte zum Beispiel ein unaufgeräumtes Kinderzimmer betrachten, in dem Spielzeug verstreut auf dem Boden liegt. Ist das Zimmer nun aufgeräumt und sind alle Gegenstände sauber in Schränken und Regalen verstaut, so befindet sich nichts mehr auf der Bodenfläche. Natürlich ist da noch der Boden selbst, aber die "Menge der Spielsachen, die auf dem Boden liegen" ist leer.

3. Paarmengenaxiom: Für alle Mengen A und B gibt es eine Menge C, die genau A und B als Elemente hat. Was hier leicht missverständlich ist: Bei C handelt es sich nicht um die Vereinigung zweier Mengen A und B, sondern um die Menge C := {A, B}. Beim Einkaufen könnten A und B zum Beispiel irgendwelche Güter sein, die gut zusammenpassen und C ist das Bundle dieser beiden Güter - zum Beispiel wird eine Flasche Whiskey mit zwei Whiskeygläsern verkauft, oder ein Grill mit einem Paket Holzkohle. Nun soll das natürlich für alle (denkbaren) Mengen A und B gelten, nicht nur für diese, die man in einem Geschäft kaufen kann. Aber vorstellen kann man es sich, denke ich. Zwar ist die Menge aus den Pyramiden von Gizeh und dem Eiffelturm nun eher schwierig zusammenzubringen, aber bei einer Mengenzugehörigkeit geht es ja nicht unbedingt um die Entfernung. Vielleicht ist die Menge, die der Eiffelturm und die Pyramiden von Gizeh beinhaltet gerade die Menge, der Orte, die Lise und Hanno Altbauer aus Berlin gerne einmal besuchen würden.

4. Vereinigungsaxiom: Sei A ein Mengensystem (also A eine Menge, deren Elemente wieder Mengen sind), dann gibt es eine Menge B, die alle Elemente aller Mengen enthält, die in A liegen. Genauer: Ein Element x ist in B, genau dann, wenn es eine Menge C in A gibt, sodass x in C liegt. C heißt dann Vereinigung der Mengen in A. Bildlich könnte man sich vorstellen, dass die Mengen, die in A liegen, alle Einzelteile sind, die man zum Zusammenbau eines Autos benötigt. Die Menge B wäre dann das fertigmontierte Auto. Das heißt, man kann das Vereinigen von Mengen als ein Zusammenfügen von Dingen verstehen - mit einigen Ausnahmen: Zwei der Mengen könnten zum Beispiel auch eine gewisse gemeinsame Teilmenge (also einen nicht-leeren Schnitt) haben. Dann wäre die Vereinigung das zusammengefügte Teil, das was doppelt ist, befindet sich jedoch nur einmal in ihr. Bei den Einzelteilen des Autos könnte zum Beispiel ein Teil doppelt sein, obwohl man es nur einmal benötigt. Dann wird dieses Teil nur einmal verbaut. Kann man immer Gegenstände in dieser Art und Weise zusammenfügen? Gegeben wieder, dass jedes Elementarteilchen einzeln identifizierbar ist, ja. Denn der Fall des nicht-leeren Schnittes kann dann nur auftreten, wenn man identische Objekte zusammenfügt, was offenbar trivial ist. Ob ansonsten die Zusammenfügung von Eiffelturm und Gizeh-Pyramiden (also man den Eiffelturm auf die Cheops-Pyramide stellt) tatsächlich möglich ist, würde ein Ingenieur wohl eher verneinen, denkbar ist es. Die Zusammenfügung von Kaugummi und Schulbank ist ja zum Beispiel auch einigen Lesern bekannt.

5. Unendlichkeitsaxiom: Sei A ein Mengensystem, dass die leere Menge Ø und für jedes Element x in A auch die Menge, die gerade x enthält, (das ist {x}) enthält. Ohne Einschränkung setzt man: 

A := {Ø,{Ø},{{Ø}},{{{Ø}}},{{{{Ø}}}},...}.

Diese spezielle Menge A nennt man auch Menge der natürlichen Zahlen und bezeichnet Ø =: 1, {Ø} =: 2, {{Ø}} =: 3, {{{Ø}}} =: 4, usw. Dieses Axiom ist schon schwieriger zu "plausibilisieren", insbesondere da wir oben stets davon ausgingen, dass es nur endlich viele Elementarteilchen im Universum gibt. Angenommen, es gibt kein zeitliches Ende es Universums, dann ließe sich die Menge A identifizieren als die Menge aller Sekunden vom Urknall, bis zum Ende des Universums. Ist diese Annahme plausibel? Für manche Leute vielleicht schon, für andere nicht. Eine andere (etwas komplexere) unendliche Menge könnte man sich folgendermaßen definieren: Sie beinhaltet die erste Sekunde, die darauf folgende zehntel Sekunde, darauf folgende hundertstel Sekunde, usw. im Jahr 2017. Damit haben alle Zeitpunkte in dieser Menge tatsächlich existiert, und zwar am 01.01.2017 zwischen 0:00:01 und 0:00:02. Damit lässt sich diese Menge dann schreiben als A := {1, 1.1, 1.11, 1.111, 1.1111, ...}. Definiert man nun 1 =: Ø, 1.1 =: {Ø}, 1.11 =: {{Ø}} usw., dann erhält man gerade die o.g. Menge.

Zwischenbemerkung: Durch die obige Definition der natürlichen Zahlen, sieht man, dass im Grunde keine Unterscheidung zwischen Mengen und Elementen notwendig ist; Elemente lassen sich stets auch als Menge schreiben. Damit ist aber jede Menge ein Mengensystem (außer der leeren Mengen). Im Folgenden wird das Prinzip des Mengensystems nun nicht mehr gesondert betrachtet.

6. Potenzmengenaxiom: Für jede Menge A, gibt es eine Menge P, die alle Teilmengen von A enthält. Eine Menge B ist Teilmenge von A, wenn alle Elemente aus B auch in A liegen. P heißt Potenzmenge von A. Zurück zu dem Autoteile-Beispiel. Die Menge A könnte das fertige Auto sein. Dann ist die passende Menge P gerade die Menge, die jegliche Kombination der "Elementarteilchen" (hier: der Teile, die in 4 betrachtet wurden) beinhaltet. Eine Kombination aus Schrauben, Blech und Glas könnte beispielsweise eine Autotür ergeben. Eine Kombination aus Autotür, Duftbäumchen, Vergaser und Schiebedach ein äußerst interessantes Kunstwerk.

7. Fundierungsaxiom: In jeder nicht-leeren Menge A gibt es eine Menge B, sodass A und B disjunkt sind. A und B heißen disjunkt falls der Schnitt von A und B gerade die leere Menge ist. Dies ist zugegebenermaßen relativ abstrakt. Es geht insbesondere darum, zyklische Ketten von Mengen zu verbieten, bei denen jede Menge jeweils in der nächsten Menge beinhaltet ist. Das einfachste Beispiel, auf das wir uns hier beschränken möchten, ist A := {A, x}. Diese Menge beinhaltet sich selbst. Ein nettes (Pseudo-)Beispiel für eine solche Menge sind Bilder, die sich selbst immer und immer wieder beinhalten, wie zum Beispiel dieses hier. Dieses Bild ist natürlich nur ein Pseudo-Beispiel, da es eine endliche Anzahl an Pixeln gibt, bzw. eine endliche Anzahl an Fotopapier-Elementarteilchen, und dies deshalb nicht wirklich unendlich fortgesetzt wird. Dieses Beispiel ist natürlich nicht ausreichend um eine Menge A ad absurdum zu führen, da ihr Widerspruch nur auf der Endlichkeit von Elementarteilchen beruht. Unendlichkeit habe ich in 5 jedoch schon als plausibel dargestellt.

Eine bessere Argumentationsgrundlage ist die, des zirkulären Argumentes, welches ich schon ganz am Anfang kurz diskutiert habe. Sei A der Beweis der Aussage "Gott existiert." und x ein beliebiges religiöses Buch (Bibel, Koran, Thora,...). Nun enthält der Beweis der Aussage einmal den Beweis selbst und diverse Geschichten aus dem Buch x, die den Beweis untermauern. Also A := "Gott existiert, denn "Beweis, dass Gott existiert" (= A) und Buch x erzählt von Gott.". Einen solchen Beweis, der den Beweis selbst enthält, würden wir im Allgemeinen nicht als richtig anerkennen, sondern als zirkulär oder selbst-referentiell bezeichnen. In der Logik würden wir eine solche Menge also nicht akzeptieren. Somit erkennen wir das Fundierungsaxiom als plausibel an.

8. Aussonderungsaxiom: Sei A eine Menge und P(x) eine Aussage, deren Wahrheitsgehalt von x in A abhängt, und die sich eindeutig als wahr oder falsch zu unterscheiden ist. Dann gibt es eine Teilmenge B von A, die gerade alle x Elemente von A enthält, sodass P(x) wahr ist. Wie oben diskutiert, lässt sich für jede Menge die Potenzmenge betrachten. Das heißt, alle Teilmengen einer Menge existieren tatsächlich. Können wir aus diesen Teilmengen nun gerade die o.g. Menge B auswählen? In der Praxis können wir das. A könnte die Menge aller technischen Objekte einer Produktion sein, dann ist P(x) := "x funktioniert einwandfrei". Als geschultes Personal können wir (z.B. durch Ausprobieren) der Geräte entscheiden welche funktionieren und welche nicht. Unterteilen wir nun die Geräte auf zwei Stapel auf - einen Stapel C := {x in A: "x funktioniert einwandfrei"} und einen Stapel C' :=  {x in A: "x funktioniert nicht oder nicht einwandfrei"}. So entspricht B gerade der o.g. Menge und die Existenz von B auch in einem allgemeineren Kontext ist plausibel.

9. Ersetzungsaxiom: Sei P(x,y) eine Aussage, deren Wahrheitsgehalt von x und y abhängt, aber von keinen weiteren Variablen. Angenommen P(x,y) und P(x,y') sind genau dann gleichzeitig war, wenn y = y'. Für alle Mengen A gibt es dann eine Menge M, sodass y gerade dann in M liegt, wenn x in A liegt und E(x,y) wahr ist. Dieses Axiom ist in gewisser Weise eine parametrisierte Version des Aussonderungsaxiom. Nimmt man an, dass P(x,y) gar nicht von x abhängt und die obige Zusatzannahme, so hat man eine spezielle Version des Aussonderungsaxiom, in dem P(x,y) nur für genau ein y wahr ist. Ein einfaches Beispiel wäre die Aussage P(x,y) := "y ist die Lieblingseissorte von x", angenommen jede Person hat nur eine Lieblingseissorte. Dann ist y tatsächlich eindeutig bestimmt für jedes x, wie gefordert. Betrachten wir nun die Menge aller Menschen in Berlin, so ist die Menge M gerade die Menge der Lieblingseissorten aller Berliner. Plausibel.

Wie oben beschrieben lassen sich, aufbauend auf diesen Axiomen, große Teile der Mathematik herleiten und damit auch viele naturwissenschaftliche Methoden. Ein Leser, der diese Axiome für plausibel hält, hält damit auch die Naturwissenschaften für plausibel. Ich hoffe, dieser Text hat die Argumentation aus dem Video erfolgreich weitergeführt, sodass nun wirklich alle laut rufen können:

Science works, bitches!

Update (19.04.2017): Tatsächlich ist mir ein Fehler unterlaufen. Man benötigt offensichtlich ein fundamentales Verständnis von Logik, um die Axiome aufzuschreiben. Ansonsten wäre es kaum möglich Quantoren, wie "für alle" oder "gibt es", oder Verknüpfungen wie "und" oder "oder" verwenden. In einem nächsten Artikel werde ich auf die Prädikatenlogik erster Stufe eingehen, die man hier benötigt. Nachlesen könnte man dazu schon einiges hier.